2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（文科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1.若集合，,则

【答案】B

【解析】

2.已知是虚数单位，则复数

【答案】A

【解析】

3. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是

【答案】D

【解析】A为奇函数，B和C为偶函数，D为非奇非偶函数

4. 若变量满足约束条件，则的最大值为

【答案】B

【解析】由题意可做出如图所示阴影部分可行域，则目标函数

过点（4，-1）时z取得最大值为

 

 

5. 设的内角的对边分别为a,b,c,若且，则

【答案】C

【解析】由余弦定理得，，化简得，解得，因为，

6. 若直线与是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则下列命题正确的是

【答案】D

7. 已知5件产品中有2件次品，其余为合格品，现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为

【答案】B

【解析】设5件产品中2件次品分别标记为A，B，剩余的3件合格品分别设为a，b，c. 则从5件产品中任取2件，共有10种情况，分别为（A，a）、(A，b)、（A，c）、（B，a）、（B，b）、（B，c）、（a，b）、（a，c）、（b，c）、（A，B）其中，恰有一件次品的情况有6种，分别是（A，a）、(A，b)、（A，c）、（B，a）、（B，b）、（B，c），则其概率为

8. 已知椭圆的左焦点为，则

【答案】B

【解析】因为椭圆的左焦点为（-4，0），则有，且椭圆的焦点在x轴上，所以有，因为所以

9. 在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，则

【答案】A

【解析】因为四边形是平行四边形，所以，

则

10. 若集合，，用表示集合中的元素个数，则

【答案】A

【解析】当时，，，都是取，，，中的一个，有种；

当时，，，都是取，，中的一个，有种；

当时，，，都是取，中的一个，有种；

当时，，，都取，有种，所以.

当时，取，，，中的一个，有种；

当时，取，，中的一个，有种；

当时，取，中的一个，有种；

当时，取，有种，所以、的取值有种

同理，、的取值也有种，所以

所以

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.

（一）必做题（11-13题）

11. 不等式的解集为         .（用区间表示）

【答案】（-4,1）

【解析】解不等式 得，所以不等式的解集为（-4，1）

12. 已知样本数据的均值，则样本的均值为         .

【答案】10

【解析】由题意知，当样本数据，，，的均值时，样本数据，，，的均值为

13. 若三个正数a,b,c成等比例，其中，则         .

【答案】1

【解析】由等比中项性质可得，，由于b为正数，

所以b=1

（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）

14. (坐标系与参数方程选做题) 在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程，曲线的参数方程为（为参数）. 则与交点的直角坐标为         ．

【答案】（2，-4）

【解析】曲线的直角坐标系方程为，曲线的直角坐标方程为.

        联立方程，解得，所以与交点的直角坐标为（2，-4）

15. (几何证明选讲选做题)如图1，为圆的直径，为延长线上一点，过点作圆的切线，切点为过点作直线的垂线，垂足为，若，则=         .

【答案】3

【解析】由切割线定理得：，所以，

解得：

连结OC，则

 

图1

 

三、解答题（本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）

16.（本小题满分12分）

已知.

（1）求的值；

（2）求的值.

【解析】

（1）

∵

∴

（2）

∵

∴

17.（本小题满分12分）

某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图2，

（1）求直方图中的值；

（2）求月平均用电量的众数和中位数；

（3）在月平均用电量为，，，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【解析】

（1）（0.002+0.0025+0.005++0.0095+0.011+0.0125）20=1

∴

（2）众数：230

中位数：取频率直方图的面积平分线

（3）

共计：55户

∴抽取：户

18.（本小题满分14分）

　　如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC＝4，AB＝6，BC＝3.

　 （1）证明：BC∥平面PDA；

   （2）证明：BC⊥PD；

   （3）求点C到平面PDA的距离.

【解析】

（1）∵ 四边形ABCD为长方形

∴

∵

∴

（2）取DC中点E，连接PE

∵PC=PD

∴ PE⊥CD

∵ 面PCD⊥面ABCD，面PCD面ABCD=CD

   PE面PCD，PE⊥CD

∴ PE⊥面ABCD

而BC面ABCD

∴ BC⊥PE

∵ BC⊥CD，CDPE=E

∴ BC⊥面PCD

PD面PCD

∴ BC⊥PD

（3）由（2）得：PE为面ABCD的垂线

     ∴

在等腰三角形PCD中，，

     ∴

设点C到平面PDA距离为

∴

而

∴

∴，即：点C到平面PDA的距离为

19.（本小题满分14分）

设数列的前项和为，已知且当时，.

（1）求的值；

（2）证明：为等比数列；

（3）求数列的通项公式.

【解析】

（1）令n=2,则：

（2）

（3）由（2）得：是首相为：，公比为的等边数列

20．（本小题满分14分）

已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点A，B.

（1）求圆的圆心坐标；

（2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程；

（3）是否存在实数，使得直线与曲线C只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.

【解析】

（1）

（2）由题意得：直线的斜率一定存在，设直线的斜率为，则:

设

（3）曲线C：

21.（本小题满分14分）

设为实数，函数.

（1）若，求的取值范围；

（2）讨论的单调性；

（3）当时，讨论在区间内的零点个数.

【解析】

（1）

（2）

对称轴分别为：

∴，

（3）由（2）得在上单调递增，在上单调递减，所以.

①当时，，

当时，即.

因为在上单调递减，所以

令，则为单调递增函数，所以在区间（0，2）上，，

所以函数与在（0，2）无交点.

当时，令，化简得，即，则解得

综上所述，当时，在区间有一个零点x=2.

②当时，，

当时， ，，

而为单调递增函数，且当时，

故判断函数是否有交点，需判断与的大小.

因为

所以,即

所以，当时，有一个交点；

当时，与均为单调递增函数，而恒成立

而令时，，则此时，有，

所以当时，有一个交点；

故当时，与有两个交点.

综上，当时，有一个零点；

当，有两个零点.